تحلیل خطای عددی در حل معادلات دیفرانسیل معمولی با تأکید بر دقت و پایداری روش‌های کلاسیک

چکیده

چکیده

معادلات دیفرانسیل معمولی  (ODE)ها نقش مهمی در مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی، فیزیکی، انجینری و زیستی دارند. در اغلب موارد، حل تحلیلی این معادلات ممکن یا عملی نیست و بنابراین استفاده از روش‌های عددی برای یافتن پاسخ‌های تقریبی، امری ضروری است. هدف این مقاله بررسی دقیق روش‌های عددی کلاسیک از جمله اویلر، هیون و رانگه–کوتا مرتبه چهارم (RK4) در حل معادلات دیفرانسیل معمولی است. تمرکز اصلی بر تحلیل خطای عددی، پایداری روش‌ها، و دقت نتایج حاصل از هر الگوریتم قرار دارد. ابتدا مفاهیم پایه‌ای مربوط به انواع خطاها از جمله خطای محلی و خطای کلی ارائه شده و سپس معیارهای همگرایی و پایداری در روش‌های عددی توضیح داده شده است. و هر یک از روش‌های ذکرشده به‌صورت جداگانه معرفی و تحلیل شده‌اند، سپس از آن‌ها برای حل یک معادله دیفرانسیل ساده آزمایش به صورت عددی استفاده شده است. نتایج حاصل از اجرای عددی، از طریق جداول و تحلیل‌های مقایسه‌ای و بررسی شده‌اند. مقایسه مقادیر تقریبی با پاسخ تحلیلی نشان می‌دهد که روش رانگه–کوتا مرتبه چهارم دقت بسیار بالاتری نسبت به روش اویلر و هیون دارد و برای مسائل کند زوال نیز مناسب‌تر است. همچنین مشاهده شد که کاهش فاصله زمانی منجر به کاهش خطا در تمامی روش‌ها می‌شود، اما به قیمت افزایش هزینه محاسباتی. در نهایت، مقاله پیشنهادهایی برای انتخاب روش مناسب بر اساس ویژگی‌های مسئله، میزان دقت مورد نظر، و محدودیت‌های محاسباتی ارائه می‌کند. این تحقیق می‌تواند برای محصلان و محقیقان در حوزه ریاضی کاربردی و انجینری مفید باشد.